Find: ∫ (x^2+ x +1)/(( x +1)^2( x +2)) d x

$$\begin{gathered} \text { Let } \mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+1}{(\mathrm{x}+1)^{2}(\mathrm{x}+2)} d \mathrm{x} \\ \text { Here } \frac{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+1}{(\mathrm{x}+1)^{2}(\mathrm{x}+2)}=\frac{\mathrm{A}}{(\mathrm{x}+1)}+\frac{\mathrm{B}}{(\mathrm{x}+1)^{2}}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{x}+2} \\ \Rightarrow \mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+1=\mathrm{A}(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+2)+\mathrm{B}(\mathrm{x}+2)+\mathrm{C}(\mathrm{x}+1)^{2} \end{gathered} $$ On comparing, we get $$\mathrm{A}=-2, \mathrm{B}=1 \text { and } \mathrm{C}=3 . $$ $$\therefore \mathrm{I}=\int \frac{-2 \mathrm{dx}}{\mathrm{x}+1}+\int \frac{\mathrm{dx}}{(\mathrm{x}+1)^{2}}+3 \int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}+2} $$ $$=-2 \log |\mathrm{x}+1|-\frac{1}{\mathrm{x}+1}+3 \log |\mathrm{x}+2|+\mathrm{C} $$