(a) Find: ∫ ((3 cos x -2) sin x)/(5- sin^2 x -4 cos x) d x

$$\begin{aligned} & \int \frac{(3 \cos \mathrm{x}-2) \sin \mathrm{x}}{5-\sin ^{2} \mathrm{x}-4 \cos \mathrm{x}} d \mathrm{x}, \quad \text { Put } \cos \mathrm{x}=\mathrm{t} \text { so that, }-\sin \mathrm{x} \mathrm{dx}=\mathrm{dt} \\ & =\int \frac{2-3 \mathrm{t}}{5-\left(1-\mathrm{t}^{2}\right)-4 \mathrm{t}} d \mathrm{t} \\ & =\int \frac{2-3 \mathrm{t}}{(\mathrm{t}-2)^{2}} d \mathrm{t} \\ & \int \frac{2-3 \mathrm{t}}{(\mathrm{t}-2)^{2}} d \mathrm{t}=-3 \int \frac{1}{\mathrm{t}-2} d \mathrm{t}-4 \int \frac{1}{(\mathrm{t}-2)^{2}} \mathrm{dt} \\ & \quad=-3 \log |\mathrm{t}-2|-4\left(\frac{-1}{\mathrm{t}-2}\right)+C \\ & \quad=-3 \log |\cos \mathrm{x}-2|+\frac{4}{\cos \mathrm{x}-2}+C \end{aligned} $$ $\displaystyle \mathrm{I}=\int_{-2}^{2} \frac{\mathrm{x}^{3}+|\mathrm{x}|+1}{\mathrm{x}^{2}+4|\mathrm{x}|+4} d \mathrm{x}$