(a) Evaluate: ∫_0^((π)/2) e^x sin x d x

Let $\displaystyle \mathrm{I}=\int \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \sin \mathrm{x} \mathrm{dx}$

$$=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \sin \mathrm{x}-\int \cos \mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}

Let $\displaystyle \mathrm{I}=\int \frac{1}{\cos (\mathrm{x}-\mathrm{a}) \cos (\mathrm{x}-\mathrm{b})} \mathrm{dx}$

$$=\frac{1}{\sin (\mathrm{a}-\mathrm{b})} \int \frac{\sin [(\mathrm{x}-\mathrm{b})-(\mathrm{x}-\mathrm{a})]}{\cos (\mathrm{x}-\mathrm{a}) \cos (\mathrm{x}-\mathrm{b})} \mathrm{dx}