If $\displaystyle \mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{a}^{\tan ^{-1} \mathrm{t}}}, \mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{a}^{\cot ^{-1} \mathrm{t}}}$, then show that $\displaystyle \mathrm{x} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}=0$.

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}= & \frac{\sqrt{\mathrm{a}^{\tan ^{-1} \mathrm{t}}}}{2} \frac{\log \mathrm{a}}{1+\mathrm{t}^{2}} \\ & \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=-\frac{\sqrt{\mathrm{a}^{\cot ^{-1} \mathrm{t}}}}{2} \frac{\log \mathrm{a}}{1+\mathrm{t}^{2}} \\ & \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{\sqrt{\mathrm{a}^{\cot ^{-1} \mathrm{t}}}}{\sqrt{\mathrm{a}^{\tan ^{-1} \mathrm{t}}}}=-\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}} \\ & \Rightarrow \mathrm{x} \frac{d \mathrm{y}}{d \mathrm{x}}+\mathrm{y}=0 \end{aligned} $$