Solve the differential equation $\displaystyle \mathrm{x} \cos \left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\right) \frac{d \mathrm{y}}{d \mathrm{x}}=\mathrm{y} \cos \left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{x}$.

\[\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}+\sec \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}} \\ & \text { Put } \mathrm{y}=\mathrm{vx} \\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{v}+\mathrm{x} \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}} \\ & \Rightarrow \mathrm{v}+\mathrm{x} \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{v}+\sec \mathrm{v} \\ & \Rightarrow \int \cos \mathrm{v} \mathrm{dv}=\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}} \\ & \Rightarrow \sin \mathrm{v}=\log |\mathrm{x}|+\mathrm{c} \\ & \Rightarrow \sin \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=\log |\mathrm{x}|+\mathrm{c} \end{aligned} \]